本网讯（通讯员时尚、杨新宇）7月4日—5日、8日—9日，Colin McLarty教授在振华楼B214分别作了四场“数学家的哲学思想选讲”的系列讲座。McLarty教授是美国凯斯西储大学的Truman P.Handy哲学教授，是范畴论领域的领军人物，也是一位著名的数学哲学家和数学史学家。讲座采用线上线下混合形式， 通过网络平台向海内外观众直播。讲座先后由我院程勇教授、谢凯博副研究员、陈波教授主持，我院及数学与统计学院师生参加了线下讲座，每场讲座线上平均200余人次参与。

第一讲的主题是“三种做数学的方式何以演变为竞争的哲学”。McLarty教授首先阐述了本系列讲座的主旨：20世纪初的观点认为数学家是只在逻辑和数学基础帮助他们证明定理的时候才会关注这些基础问题。但我们本系列讲座的基本论断是：许多数学巨匠在提出及证明一些定理的基础上，也对数学哲学带来了深远的影响。

McLarty教授指出，数学哲学的分类实际上来源于对数学家研究风格的分类。1893年，著名数学家克莱因依据研究风格将当时的数学家分为了三类：逻辑主义者、形式主义者和直觉主义者。在当时的语境下，逻辑主义指给出严格的定义和推理；形式主义指对于给定的问题设计出一种“算法”；直觉主义强调在所有数学分支中都应该注重几何直观。这三种风格并无优劣之分也并非水火不容。有的数学家可以分属不同阵营，不同阵营的数学家也相互合作各取所长。之后McLarty教授举出了许多数学家的例子进一步阐释这三种研究风格的概念。比如以严格定义和严格演绎著称的魏尔施特拉斯是最伟大的逻辑主义者之一，是他发明了微积分中最为基础的ε-δ 语言。

接着，McLarty教授介绍了它们如何随着时间变化，以及最后演变为一种哲学。但值得注意的是，在19世纪，数学家们并没有严格的书写标准，以至于他们的证明过程可读性非常差。比如保罗·戈登关于代数不变量的定理证明虽然有着严密的公式但是缺乏文字解释，于是出版时被加入了许多错误的解读，以至于直至今日人们也难以阅读他的证明。20世纪初，在大卫·希尔伯特、戴德金等数学家的推动下，数学证明的形式发生了变革性的转变，他提倡演绎推理，挑战了先前的写作风格。学界开始普遍认同将证明清晰化、严格化。至此，因为人人都是克莱因语境下的“逻辑主义者”，所以这一概念开始淡化。随着计算机科学的发展，“算法”的概念发生变化，形式主义的概念也因此产生变化。同时，荷兰天才数学家布劳威尔创立了构造性数学。他强调数学直接的直觉，认为存在即可构造、证明即可计算。他符合克莱因语境下的“形式主义者”，但他本人坚称自己是一位“形式主义者”。教授也强调了李(Lie)等人将复杂概念几何化的重要贡献。

此外，McLarty教授还探讨了数学和数学哲学之间的互动。之后话题转向诺特等人对代数几何和守恒定律的影响。艾米·诺特是一位德国女性数学家，尽管身处动荡时代，仍对数学做出了开创性的贡献。她简化了复杂的数学证明，善于利用透彻的洞见建立优雅的抽象概念，再将之漂亮地形式化。她整合了不同的方法来推进抽象代数的发展，其工作在现代数学教育和研究中仍具有影响力。

在提问互动环节，程勇教授感谢了McLarty教授的精彩演讲，表示此次教授准备的内容十分丰富。我院时尚同学提问除了克莱因的分类是否还有其他分类以及是否会有这三类之外的风格。McLarty教授回答庞加莱在同一时代也提出了一种分类，他区分了分析主义者和直觉主义者。这里分析主义是指非常注重细节和推理的每一步都必须是严格正确的。但在克莱因之前没有人划分了三个种类。并且McLarty教授相信数学哲学是一直发展的，比如目前新兴的机器证明领域也会对数学哲学产生新的影响。有线上观众提问诺特是如何理解时间对称性的。教授解释到希尔伯特和爱因斯坦最初已经意识到广义相对论的问题在于可以使用不同的方式改变坐标系，粗略来讲坐标系是无关紧要的，这也是物理学中的协变性。这使得找到一个一般的守恒定律非常困难。而诺特提出了诺特定理，建立了对称性与守恒定律之间的联系。

第二讲主题为“庞加莱、希尔伯特和哥德尔的连续挑战”。McLarty教授首先从希尔伯特和庞加莱的互动这一新奇的角度来介绍希尔伯特纲领。与把希尔伯特和庞加莱视为对手的刻板印象不同，庞加莱高度赞扬了希尔伯特对欧式几何的公理化的彻底性和精确性以及平行公设的相对一致性证明。希尔伯特的工作使庞加莱意识到用机器实现数学推理的潜在可行性。这一思想并非空穴来风，早在19世纪人们就考虑设计推理机器，其历史可追溯到1840年巴贝奇(Babbage)设计的计算器和1870年杰文斯(Jevons)设计的逻辑钢琴。庞加莱的这一观点为希尔伯特所赞同，并且希尔伯特注意到一个数学理论的一致性实际上只关乎有穷符号串的性质，似乎并不需要知道关于无穷的事实。因此他提出了希尔伯特纲领：通过有穷方法证明数学基础的一致性。

讲座的第二部分是对不完全性现象的介绍。哥德尔不完全性定理表明希尔伯特的上述想法是不正确的，足够强的理论（如皮亚诺算术PA的一致递归扩充）不能证明其自身的一致性。McLarty教授同时指出在某些特定情况下不完全性现象可以避免，塔斯基证明了初等代数和初等几何是完备的。另一方面，哥德尔不完全性定理依赖特定的逻辑构造，但也存在具体的、有数学意义的不可判定的命题，如选择公理和连续统假设相对于集合论公理系统ZF。具体不完全性也从一个侧面表明了将数学还原为逻辑的尝试的失败。那么如何应对不完全性现象呢？有两种选择：放弃数学基础；继续探索使数学定理赖以成立的数学基础。后者和Friedman等人提出的反推数学的宗旨密切相关。McLarty教授进一步探讨了广泛存在的两类不完全性现象：逻辑不完全性和具体不完全性。尽管二者有很多不同，但在形式上都可以看作关于满足某一性质的函数存在性的断言。

为了说明“具体性”的含义，McLarty教授介绍了初等函数算术EFA，并通过一个关于素数的命题指出EFA在希尔伯特意义上是具体的（其可证递归函数增长速度不是很快），而皮亚诺算术PA则不是具体的。而一个自然的问题是，如费马大定理这样艰深的数论结果在多弱的算术系统下可证。这一问题有其历史渊源。著名数学家哈代曾认为素数定理没有初等证明并且是皮亚诺算术所不可证的，但其观点是错误的。另一方面，数学家注意到怀尔斯对于费马大定理的证明有很强的算术特征。McLarty教授对怀尔斯的证明思路作了简要的介绍，即将费马大定理转化为下述命题：假如费马大定理不成立，则由费马方程可构造一个椭圆曲线，它不可能是模曲线。数学家们已经知道，费马大定理在集合论ZFC中可证，更好的结果是费马大定理可在有穷阶算术(finite order arithmetic)（即添加无穷公理的简单类型论）中可证，McLarty教授则认为有广泛的证据可以表明费马大定理在皮亚诺算术中可证。为了说明这一点，McLarty教授深入讨论了怀尔斯证明中的上同调、格罗滕迪克宇宙等概念的形式化和解析数论中的函数（如黎曼ζ函数）的初等性。

在提问互动环节，谢凯博老师感谢并总结了McLarty教授的精彩讲座。我院陈一源同学提问哥德尔第二不完全性定理是否会导致无穷倒退。McLarty教授介绍了图灵-费弗曼（Turing-Feferman）定理，即真算术可以基于皮亚诺算术PA通过递归序数的迭代扩张得到。我院杨新宇同学提出了两个问题，第一个问题是在希尔伯特意义下，为什么哥德尔语句不是一个具体的数学命题；第二个问题是：如果在希尔伯特意义上初等函数算术EFA是具体的，皮亚诺算术PA不是具体的，那么强于EFA而弱于PA的原始递归算术PRA是否是具体的呢？McLarty教授回应道，关于第一个问题，相对于PA而言的哥德尔语句没有断言具体的控制上界；关于第二个问题，教授指出关于这一点有一定的争议，他本人认为PRA也不是具体的，原因是原始递归函数的增长速度也过快了。我院程勇教授则指出，在哥德尔定理不完全性定理发现之后，希尔伯特本人并不认为希尔伯特纲领就完全失败了，而是只需要修改有穷主义的标准，程勇教授询问McLarty教授如何看待有穷主义的定义。 McLarty教授指出关于有穷主义有不同的标准，希尔伯特本人的观点事实上也发生过变化。但费弗曼和泰特(Tait)等人认为有穷主义可以和原始递归算术等同起来。

第三讲主题为“几何化算术和数学的统一性”。首先，McLarty教授指出20世纪几何、分析和数论领域产生的新方法并不是割裂的，它们有着共同的起源——韦伊1928年的博士论文。韦伊将丢番图方程的整数解与椭圆曲线上的有理点联系起来，这一思想可追溯到希尔伯特和庞加莱。McLarty教授指出，这反映了韦伊对于数学的不同分支的统一性和联系性的追求，McLarty教授用韦伊19岁时登阿尔卑斯山的感受生动形象地说明了这一点。

讲座的第二部分是上同调这一深刻的数学思想的介绍。韦伊引入了上同调这一代数拓扑的概念来研究韦伊猜想。从直观上看，上同调是曲面上“洞”的计数，而“洞”实质上可以看作从方程的一个解求另一个解的阻碍（obstruction）。

McLarty教授进一步介绍了韦伊所建立的布尔巴基学派的历史，总结了布尔巴基学派的思想遗产。McLarty教授指出，布尔巴基学派的多卷本《数学原理》既不是百科全书也不是研究专著，而是对数学各个领域全貌的展现，确立了数学术语的标准。其思想遗产表现在：提供了一种易于教学的定理证明的风格；提供了教科书的书写范例；尝试建立统一的数学结构的理论。

另一个对20世纪数学影响深远的学派是诺特学派。代数学家诺特的数学贡献和数学思想影响深远，为拓扑学、交换代数和代数几何以及上同调数论提供了基本工具，并促成她的学生艾伦伯格和麦克兰恩建立了群上同调和范畴论。这些思想最终促成了韦伊猜想的解决。解决韦伊猜想的工具是格罗滕迪克引入的平展上同调（Étale cohomology），其本质是拓扑斯(topos)。

随后，McLarty教授对拓扑斯这一概念作了简明扼要的介绍。从外在的角度看，拓扑斯类似拓扑空间，但其本质是可诱导上同调，因此拓扑斯可以是群、拓扑空间，也可以是格罗滕迪克引入的概形(scheme)。从内在的角度看，某个数学对象（如群）上的拓扑斯的数学性质反映了这个数学对象本身的性质。

最后，McLarty教授介绍了在拓扑斯思想影响下威廉·劳威尔（William Lawvere）的工作。劳威尔认为数学对象可以通过其关键特征来描述，如自然数的关键特征是可以用来定义序列，而集合的关键特征和集合之间的函数密切相关。在这一思想的驱动下，劳威尔提出了集合的范畴（category of sets）的公理化ETCS 和范畴的范畴(category of categories)的公理化CCAF。在劳威尔工作的启发下，迈尔斯·蒂尔尼（Myles Tierney）提出了拓扑斯的公理化。

在提问互动环节，程勇教授对McLarty教授的讲座进行了总结。我院时尚同学就数学分支的共性和个性提出了两个问题。第一个问题为是否每一个数学分支都会交汇，第二个问题则是不同数学分支各自所具有的关键特征。McLarty教授指出，尽管我们原则上并不能断言每一个数学分支都彼此关联，但数学实践表明许多数学分支是彼此深刻联系的。关于不同数学分支的关键特征，McLarty教授以几何和分析为例作了诠释，几何学关心的函数是光滑的，而分析学关心的函数则更为广泛。程勇教授则就怀尔斯对费马大定理的证明提出了三个问题：怀尔斯的证明是否有数学基础方面的意义；怀尔斯的证明使用了不可达基数，但这一证明却可以在ZFC甚至更弱的系统中形式化，是如何做到的；如何理解方法的纯粹性这一追求的地位。关于第一个问题，McLarty教授回应道，怀尔斯的证明使用了许多范畴论的构造，怀尔斯本人只是将其作为工具使用，但是其证明可以使我们看到范畴论方法是如何整合数学结构的，并且反映了范畴论的目的——使实质平凡的事情变得明显平凡。关于第二个问题，McLarty教授指出，对于怀尔斯证明而言，不可达基数存在和极限基数存在的区别只是替换公理的作用方式有所不同。关于第三个问题，McLarty教授认为数学的统一性比方法的纯粹性更加重要。

第四讲的主题是“长远的观点”。McLarty教授从数学在古希腊的起源谈到当代的观点，强调了思想的多样性和关于数学基础的多方面的问题。教授首先解释了数学哲学和数学家哲学的区别。仅仅谈数学并不是很清晰明确，不同学者容易产生理解上的分歧；但是谈论特定的数学家可以使听众更准确地理解所要表达的内容。柏拉图时代的数学不是公理形式化的也不是经验的简单推广，其是基于“假设”(hypotheses)的。对当时的数学家而言，数学是要去证明一个条件式，即如果A，那么B。但是并不知道前提A是否正确。比如他们假设自然数分为奇数或偶数、角分为锐角、直角、钝角三种。他们认为这是“绝对假设”，是不需要解释和证明的。

随后，McLarty教授介绍了柏拉图时代数学家对几何学的开创性贡献。教授举例了希波克拉底月牙定理。它是我们可以找到的最早的古希腊的数学证明。它并没有用到公理化的方法，但它蕴含了复杂的几何思想，我们无法轻易断言它是一种直觉主义。之后McLarty教授进一步探讨了这些证明的哲学，讨论了直觉、潜无穷以及结构主义及其对古代数学实践的解释。比如亚里士多德认为甚至潜无穷也是不存在的。虽然可以对一根直线反复进行分割，但他认为直线一定是有上界的。到欧几里得提出平行公设时，人们开始接受直线是无限长的。反实在结构主义者（认为普遍性在逻辑上先于特殊性）会认为数学家是不区分结构和系统的。这里结构是指抽象的事物，比如“三个东西”，但系统是更为具体的概念，比如“三个正方体”。McLarty教授随后讨论了数理逻辑中的“解释“概念，其中一个重要结果是哥德尔第二不完全性定理的加强版本：不存在一致的理论U可以解释Q(罗宾逊算术)+Con(U)。不同逻辑学家也给出了关于“一致性”不同的定义。逻辑中的“解释”概念在如今机器学习和自然语言处理等领域中也有重要理论意义。不同的数学基础，比如范畴论和集合论，它们虽然是相互可解释的，但并不意味着我们完全可以使用它们做同样的事。

为了说明这一点，McLarty教授以数学中函数概念的演变为例来阐释，追溯了函数从基本的集合论定义到在泛函分析中的推广。他强调了函数概念在不同数学学科中的适应性，以及集合论、类型论在为不同数学结构提供基础框架方面的工具作用。斯坦因(Stein)和沙卡奇(Shakarch)最早在普林斯顿的讲义中整理回顾了函数的集合论定义，但他们认为在实际应用中，我们仍理解函数就是一个自变量映到一个函数值，所以认为两个函数相同就是函数值几乎处处相等。随着分析学和物理学的不断发展，出现了许多“反常理”的函数，比如δ函数。华裔数学家陶哲轩进一步拓宽了函数的概念。McLarty教授还介绍了抽象数学理论和经验物理现象之间令人惊讶的巧合，如量子理论和相对论的数学基础。最后，McLarty教授从数学哲学角度展望了计算机辅助证明的前景。

在提问互动环节，陈波教授对McLarty教授的讲座内容进行了简要的总结。程勇教授提问从柏拉图到陶哲轩的函数概念之间的内在关联是什么，以及现如今除了集合论是否还有其他解释函数的方式。McLarty教授回应从柏拉图到当代数学都有一个共同点，即大量数学上的问题推动了大量数学方法的产生。并没有一个函数概念可以包含已知的所有函数，之后教授举了一些几何和算术中的例子，这些函数并不来源于集合论，而是关于空间直觉。程勇教授评论从这段数学史中我们可以发现数学实践总是先于数学哲学的。

数院本科生杨正奇同学提问连续统假设，即是否存在一个势在自然数和实数之间的实数子集，这个问题独立于ZFC，但是根据对于实数轴的直觉，这个问题应该有一个明确的回答，所以把实数轴想象成一条直线的直觉有什么瑕疵？教授从可定义性角度回答了该问题：直觉中的实数的能够被我们想象出来的子集都是可定义的，而ZFC的公理很多都是有可定义性的限制，所以如果存在一个这样的子集，它就是不可定义的，自然就超出我们的想象。

我院杨新宇同学提问，传统的函数相等概念是外延的，而类型论通过强正规化定理提供了一种内涵性的相等概念，那么几乎处处相等是否有等价的内涵性的刻画。教授认为这是一个技术性的问题，他觉得这是可行的并提供了一个具体的思路。

陈波教授提问弗雷格的函数概念，即从对象到真值的映射，是否是现代逻辑的基础。教授认为这有点偏向数学问题，弗雷格更关心概念和语言。但他对函数的抽象化也是有着深刻哲学洞见的，对现代逻辑有着重要影响。

本系列讲座内容丰富，McLarty教授对数学家的哲学思想的研究在数学哲学领域极富创新性和深刻性。每场讲座结束后，均有观众与教授进一步交流数学基础、数学哲学及数学史的相关问题。线上和线下观众均表示收获颇丰。

（编辑：邓莉萍  审稿：刘慧）