本网讯（通讯员时尚）3月12日晚，康斯坦茨大学Leon Horsten教授作了题为“集合论反射原则（On set theoretic reflection principles）”的学术报告。Horsten教授是国际理论哲学领军者，深耕逻辑、认识论与形而上学。他通过形式结构重构哲学命题，以数理逻辑、概率论为工具，解决了数学哲学、语言哲学等领域难题。本次讲座为线上讲座，海内外参与者300余人次。

反射的概念(reflection)可以追溯至古代。反射概念对应于认识论中的内省概念，及本体论中的镜像概念。在文艺复兴时期的赫尔墨斯主义传统中，本体论的“微观世界反映宏观世界” 的观点盛行，但因缺乏理论成果而逐渐被遗忘。20 世纪 50 年代末，反射原理在数学和逻辑领域重新兴起，形成了证明论反射原则和集合论反射原则这两种类型。集合论反射原则由蒙太古提出，比如在普遍被采用为经典数学的理论基础的ZFC公理集合论系统中，反射原则有着广泛应用。我们知道由哥德尔不完备性定理或者力迫法，ZFC是不完备的。通过添加不同强度的反射原则可以减弱其不完备性。传统观点认为，集合论反射原则已经得到了充分的理解，具有一定但有限的集合论强度，并且其合理性得到了广泛认可。但Horsten教授通过最新研究提出质疑，认为我们对集合论反射原则的了解实际上非常有限，在定义、类型、强度和合理性等方面仍存在诸多问题。

在介绍公理集合论的基本框架（如 ZFC 系统、迭代层级结构）后，Horsten 教授阐释了集合论反射原则的核心思想：集合论的全体宇宙           与其某个 “小部分”（如秩初始段           ）在语义上是不可区分的。具体来说，如果一个关于           的陈述为真，那么在某个比全体序数类           更靠前的           中该陈述也为真。Horsten教授给了两个形式化的例子：Montague - Levy反射是一个一阶模式，其表达式为          ，意味着一阶语句的真理性会在某个秩初始段中得到反映；Bernays 反射作为二阶模式，表达式为         ，即二阶语句的真理性会在某个秩初始段及其下一阶段中得到反映。但这些还远远不够，六十年代末期，大基数公理（也可称为强无穷原则）成为集合论研究热门。大基数公理是指那些在 ZFC 中无法证明其存在的集合的存在性假设，它们能够在一定程度上减少集合论的不完备性。大基数公理按照强度从弱到强可以排列成一个层级，包括弱紧致基数、可测基数、超紧致基数、可扩张基数等。目前大基数公理通常在类理论中以类嵌入原则的形式来表述。例如，可测基数可以表述为存在一个非平凡的1-初等嵌入         ，其中         是一个内模型，即一个包含所有序数并且满足ZFC的类。这里1-初等嵌入是指对ZFC语言下的所有一阶公式         ，         满足         当且仅当         满足           ，也就是说，我们可以将         视为         的一个近似。类似地引入二阶语言可以定义2-初等嵌入。虽然我们可以给出非常强的大基数定理但集合论中仍存在诸如连续统假设这样的问题不能由大基数定理解决。我们需要注意这些大基数公理并非是严格的标准反射原则，因为内模型嵌入原则中的反射对象（内模型         ）虽然是         的一部分，但它是一个类大小的结构（包含所有序数），因此不符合 “小” 的标准。我们虽然知道大基数公理可以减弱系统的不完备性，但问题是如何衡量减弱的程度。如果我们将集合论反射原则视为在某种程度上具有特殊的认识论地位。问题就转化为那些自然的、可行的反射原则可以在大基数层级中达到怎样的高度。比如目前已知Bernays 反射原则比弱不可达基数公理要强。哥德尔对此非常乐观，他猜想所有强无穷原则归根结底都是从集合论反射原则中得出的。但也有人反对他的观点。哲学家Peter Koellner非常详细地论证了没有集合论反射原则可以确保可测基数的存在性。他首先声称每个集合论反射原则都与可构造公理         相容，而         与可测基数公理并不相容。

尽管 Koellner 的观点具有影响力，但 Welch 和 Roberts 等人的最新研究表明反射原理的强度可能远超传统认知。Welch在大约十年前提出了一个新的反射原则          它能够推导出1-可扩张基数的存在，并且在Horsten教授看来这个原则是符合我们最初对反射原则的定义的，因为这里嵌入的定义域是一个集合大小，与所有类相比这是几乎无限小的，这表明反射原理可以达到更高的大基数层级。此外还有P反射可以推出超紧凑基数的存在性。但关于可扩张基数仍然是一个未解问题。之后Horsten教授分享了其同事Sam Roberts 的一种基于 “角色” 的解释模型，将反射结构视为一个 “剧场”，其中的元素通过嵌入函数         来扮演不同的角色，包括 “平凡角色”（即自身）、“内在角色”（反射结构内的其他元素）和 “超越角色”（反射结构外的元素）。最后谈到合理性的问题。Penelope Maddy 等学者认为，反射原理基于集合论宇宙的 “不可定义性”，即宇宙的丰富性使得其所有性质都必须在某个小部分中得到反映，这分别对应了反射的必然性和普遍性，因此反射原理具有内在的合理性。但Horsten教授认为所谓的 “丰富性” 假设缺乏直接的依据，实际上我们可能更多地依赖于其在数学中的成功应用，即外在合理性。

本次讲座深入探讨了集合论反射原理的概念、历史、与大基数的关系以及其哲学合理性，对传统观点提出了多方面的挑战，并展示了最新的研究成果。未来的研究需要进一步解决反射原理的强度上限、哲学基础以及与其他数学领域的联系等问题。

在互动环节中，程勇教授提出了一个问题，即我们应该如何理解集合论中的反射原则，并询问在哥德尔的观点中，这是否等同于嵌入性质。随后，Horsten教授从历史的角度出发，分析指出哥德尔本人可能并没有考虑过反射原则的嵌入公式，他认为哥德尔当时的这一猜测是一个大胆的想法。接着，Horsten教授进一步解释了Koellner对于反射原则所持有的不同概念理解。线上参加的其他观众与Horsten教授就哥德尔观点的文本来源问题展开了讨论。最后，在程勇教授对Horsten教授带来的精彩讲座表示感谢，本次讲座圆满结束。

（编辑：邓莉萍 审稿：刘慧）